前回の記事 twelve-sakuya.hatenablog.com で、Eratosthenesの篩から $$ \pi(x)=\pi(\sqrt{x})-1+\sum_{d\mid P(\sqrt{x})}\mu(d)\left\lfloor\frac{x}{d}\right\rfloor \tag{1} $$ が成り立つことを示しました( \( P(\sqrt{x}) \) のところの記号を前記事か…

今回は、Legendreが発見した、次の素数計数関数に関する等式を証明しようと思います。 $$ \pi(x)=\pi(\sqrt{x})-1+\sum_{d\mid P_x}\mu(d)\left\lfloor\frac{x}{d}\right\rfloor $$ ただし、\( x \) は \( 1 \) 以上の実数とし、\( \mu:\mathbb{N}\to\{0,\pm…

以下、\( a \) を正の実数、\( b \) を1より大きい実数とします。 皆さんは、対数関数 \( x\mapsto \log_{b}{x} \)、冪関数 \( x\mapsto {x}^a\)、指数関数 \( x\mapsto {b}^x\) の極限の強さを知っていますか？まず、これらは \( x\to\infty \) でいずれも…

実係数二次方程式 $$ ax^2+bx+c=0\quad(a\neq0) $$ の解は、中学校(高校？)で「解の公式」として習うように $$ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$ で与えられますが、では \( a,b,c \) が実数ではなく複素数の場合、解の公式はどのようになるでしょうか。…

ふと思いました。\( e^{x} \) のMaclaurin展開の \( x \) に冪級数をぶちこんだらどうなるんやろ？？ ということで、今回は次を満たす \( \{b_n\}_{n=0}^{\infty} \) を求めることを考えます： $$ \exp\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)=\sum_{n=0}^{\…

関数項級数 $$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} $$ はとても有名で、 \( e^{x} \) のMaclaurin展開として知られています。では、これを一般化した級数 $$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!_k} $$ はどのような関数になるでしょうか (ただし \( k \) は正…

床関数 \( \lfloor\cdot\rfloor \) と 天井関数 \( \lceil\cdot\rceil \) はどちらも \( \mathbb{R} \) から \( \mathbb{Z} \) への関数で、それぞれ $$ \lfloor x \rfloor:=\max\{n\in\mathbb{Z}\mid x\ge n\} \\\\ \lceil x \rceil:=\min\{n\in\mathbb{Z}\…

次の定積分の値がいくらか知っている人は多いと思います。 $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log(\sin{x})dx $$ 答えは \( -\frac{\pi}{2}\log{2} \) です。その最もポピュラーな求め方は、\( x\mapsto\pi-x \) と \( x\mapsto\frac{\pi}{2}-x \) の二通りの変数…

いきなりですが問題です。みなさんは次の級数の値がいくらになるか分かりますか？ $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin{n}}{n} $$ 正解は \(\displaystyle \frac{\pi-1}{2} \) です。これは、次の関数項級数に関する等式から従うことが分かります。 $$ \sum_{n…

非負整数 \( n \) に対し、\( n \) の階乗 とは、\( 1 \) から \( n \) までの全ての整数の積のことを言い、\( n! \) と表記します。ただし、\( 0! := 1\) とします。\( n! \) は明らかに \( n\to\infty \) で発散しますが、Stirlingの公式はこの漸近式を与…

よく知られているように、解析接続されたRiemann zeta関数 \( \zeta(s) \) は \( s=1 \) において1位の極を持ち、\( s\in \mathbb{C} \setminus \{1\} \)で 正則な有理型関数となります。これより、\( \zeta(s) \) は \( s=1 \) の周りで次のようにLaurent級…

十二夜咲夜は「あらんじぇ」に所属していたが、1回生のうちに辞めてしまった。辞めるに至った経緯を、思い出としてブログに投稿。(※あらんじぇ を批判するような記事ではありません)