床関数・天井関数を複素関数に拡張してみる

床関数 $ \lfloor\cdot\rfloor $ と天井関数 $ \lceil\cdot\rceil $ はどちらも $ \mathbb{R} $ から $ \mathbb{Z} $ への関数で、それぞれ

$$ \lfloor x \rfloor:=\max\{n\in\mathbb{Z}\mid x\ge n\} \\\\ \lceil x \rceil:=\min\{n\in\mathbb{Z}\mid x\le n\} $$

で定義されます。日本語を交えて言えば、$ \lfloor x \rfloor $ は $ x $ 以下の最大の整数を、$ \lceil x \rceil $ は $ x $ 以上の最小の整数を表します。高校の教科書では天井関数は扱われませんが、床関数はGauss記号 $ [x] $ として習いますね。僕は謎の意地を貼って最後まで床関数の記法を使用していましたが。

さて、今回はこの床関数と天井関数の定義域を $ \mathbb{C} $ に拡張し、複素関数にすることを考えます。なぜそんなことを考えるかというと、ただ何となく拡張してみたくなったからです(それ以上の説明が要りますか？)。それはさておき、上で書いた定義そのままでは、複素関数にできません。なぜなら $ \mathbb{C} $ は全順序集合ではない(つまり複素数には大小関係が定義されない)からです。なので、別の式を考える必要があります。

床関数や天井関数についての式はいろいろありますが、今回は次の等式を用います。

$$ \lfloor x \rfloor=x-\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi nx)}{n} \\\\ \lceil x \rceil=x+\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi nx)}{n} $$

これらは任意の $ x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} $ で成り立ちます。等式の証明方法として、主にFourier級数展開を用いる方法と、$ \theta\in(0,2\pi) $ で成り立つ恒等式

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin{n\theta}}{n}=\frac{\pi-\theta}{2} $$

を用いる方法などがありますが、ここでは省略します。さて、上の式を $ x\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z} $ での定義式としてそのまま流用したくなりますが、実は級数

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi nz)}{n} $$

は任意の $ z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R} $ に対し収束しません。なぜかというと、複素数 $ z $ を $ z=x+iy\ (x,y\in\mathbb{R}) $ とおいたとき、今 $ y\neq0 $ であり

$$ \begin{align*} \frac{\sin(2\pi nz)}{n}&=\frac{e^{2\pi inz}-e^{-2\pi inz}}{2in} \\\\ &=\frac{e^{-2\pi ny+2\pi inx}-e^{2\pi ny-2\pi inx}}{2in} \\\\ &=\frac{e^{-2\pi ny}}{2in}e^{2\pi inx}-\frac{e^{2\pi ny}}{2in}e^{-2\pi inx} \end{align*} $$

より $ e^{-2\pi ny}/n $ と $ e^{2\pi ny}/n $ の片方が $ O(e^{cn}n^{-1}) $ のオーダー、もう片方が $ O(e^{-cn}n^{-1}) $ のオーダー (cは正の定数) となって

$$ \lim_{n\to\infty}\left|\frac{\sin(2\pi nz)}{n}\right|=\infty $$

となってしまうからです。そこで、級数を複素数を代入しても定義されるような形にします。具体的には、対数関数のMaclaurin展開を用いて

$$ \begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi nz)}{n}&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{2\pi inz}}{2in}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{-2\pi inz}}{2in} \\\\ &=\frac{1}{2i}\left\{-\log(1-e^{2\pi iz})+\log(1-e^{-2\pi iz})\right\} \\\\ &=\frac{i}{2}\left\{\log(1-e^{2\pi iz})-\log(1-e^{-2\pi iz})\right\} \end{align*} $$

とします。Maclaurin展開に関する変形は通常 $ e^{2\pi iz},e^{-2\pi iz}\in\{z\in\mathbb{C}\setminus\{1\}\mid|z|=1\} $ でしか成り立ちませんが、今は定義域の拡張を考えているので気にしないことにします。この式はさらに

$$ \begin{align*} \frac{i}{2}\left\{\log(1-e^{2\pi iz})-\log(1-e^{-2\pi iz})\right\}&=\frac{i}{2}\left\{\log\left(\frac{e^{-\pi iz}-e^{\pi iz}}{e^{-\pi iz}}\right)-\log\left(\frac{e^{\pi iz}-e^{-\pi iz}}{e^{\pi iz}}\right)\right\} \\\\ &=\frac{i}{2}\log\left(\frac{e^{-\pi iz}-e^{\pi iz}}{e^{-\pi iz}}\cdot\frac{e^{\pi iz}}{e^{\pi iz}-e^{-\pi iz}}\right) \\\\ &=\frac{i}{2}\log\left(-e^{2\pi iz}\right) \\\\ &=\frac{i}{2}\left\{\log\left|-e^{2\pi iz}\right|+i\arg\left(-e^{2\pi iz}\right)\right\} \\\\ &=\frac{i}{2}\left\{\log\left|e^{-2\pi y}\right|+i\arg\left(-e^{-2\pi y}(\cos{2\pi x}+i\sin{2\pi x})\right)\right\} \\\\ &=-\pi iy+\frac{i}{2}i\arg\left(-(\cos{2\pi x}+i\sin{2\pi x})\right) \end{align*} $$

(第二項はあえて $ i $ をそのままにしておきます。) よって

$$ \begin{align*} \lfloor z \rfloor&=z-\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi nz)}{n} \\\\ &=z-\frac{1}{2}-iy+\frac{i}{2\pi}i\arg\left(-(\cos{2\pi x}+i\sin{2\pi x})\right) \\\\ &=x-\frac{1}{2}+\frac{i}{2\pi}i\arg\left(-(\cos{2\pi x}+i\sin{2\pi x})\right) \end{align*} $$

ここで、先ほどの計算の逆を辿ることで

$$ \frac{i}{2}i\arg\left(-(\cos{2\pi x}+i\sin{2\pi x})\right)=\frac{i}{2}\log(-e^{2\pi ix})=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi nx)}{n} $$

となるなので、結局

$$ \lfloor z \rfloor=x-\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi nx)}{n}=\lfloor x \rfloor $$

となります。同様に

$$ \lceil z \rceil=\lceil x \rceil $$

が成り立ちます。これは、$ z $ を整数としても成り立ちますね。

これで安心してはいけません。等式

$$ x-\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi nx)}{n}=\lfloor x \rfloor $$

は $ x\in\mathbb{Z} $ では成り立たない(成り立つとは限らない)のでした。$ x=\mathrm{Re}(z)\in\mathbb{Z} $ かつ $ y\neq0 $ のときは

$$ \begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi nx)}{n}&=\frac{i}{2}\left\{\log\left|e^{-2\pi y}\right|+i\arg\left(-e^{-2\pi y}(\cos{2\pi x}+i\sin{2\pi x})\right)\right\} \\\\ &=\frac{i}{2}\{-2\pi y+i\arg(-1)\} \\\\ &=\frac{i}{2}(-2\pi y+\pi i) \\\\ &=-\pi iy-\frac{\pi}{2} \end{align*} $$

より

$$ \begin{align*} \lfloor z \rfloor&=z-\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi nz)}{n} \\\\ &=z-\frac{1}{2}-iy-\frac{1}{2} \\\\ &=x-1 \end{align*} $$

及び

$$ \begin{align*} \lceil z \rceil&=z+\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi nz)}{n} \\\\ &=z+\frac{1}{2}-iy-\frac{1}{2} \\\\ &=x \end{align*} $$

となります。なんと、床関数は1ずれてしまうのですね。これは奇妙な結果となりました。

以上をまとめると、床関数・天井関数を複素関数に拡張したものは、$ \mathbb{C} $ から $ \mathbb{Z} $ への関数で

$$ \lfloor z \rfloor:= \begin{cases} \mathrm{Re}(z)-1 & (z\in\{z\in\mathbb{C}\mid\mathrm{Re}(z)\in\mathbb{Z}\ \land\ \mathrm{Im}(z)\neq 0\}) \\\\ \left\lfloor \mathrm{Re}(z) \right\rfloor & (\mathrm{otherwise}) \end{cases} \\\\ \lceil z \rceil:=\left\lceil \mathrm{Re}(z) \right\rceil\ \ \ (\forall z\in\mathbb{C}) $$

となることが分かりました。