複素係数二次方程式の解の公式
実係数二次方程式
$$
ax^2+bx+c=0\quad(a\neq0)
$$
の解は、中学校(高校？)で「解の公式」として習うように
$$
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$
で与えられますが、では \( a,b,c \) が実数ではなく複素数の場合、解の公式はどのようになるでしょうか。すなわち、次の問題を考えます。
複素係数二次方程式
$$
\alpha z^2+\beta z+\gamma=0\quad(\alpha\neq0)
$$
の解の公式を与えよ。
早速考えてみましょう。基本的に、実係数のときと同じ流れで求めます。すなわち、まず平方完成をします。
$$
\alpha \left(z+\frac{\beta}{2\alpha}\right)^2-\frac{\beta^2}{4\alpha}+\gamma=0
$$
\( \alpha\neq 0 \) より
$$
\left(z+\frac{\beta}{2\alpha}\right)^2=\frac{\beta^2-4\alpha\gamma}{4\alpha^2}
$$
ここで
$$
w:=z+\frac{\beta}{2\alpha},\qquad\delta:=\frac{\beta^2-4\alpha\gamma}{4\alpha^2}
$$
とおくと、次の簡単な二次方程式に帰着します。
$$
w^2=\delta
$$
さて、\( \delta \) に関して以下のように場合分けして考えます。
(1) \( \delta\in\mathbb{R} \) のとき
このとき、右辺をそのまま平方根をとることが出来て、\( \delta\ge0 \) なら
$$
w=\pm\sqrt{\delta}
$$
となり、\( \delta<0 \) なら
$$
w=\pm i\sqrt{-\delta}
$$
となります。
(2) \( \delta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R} \) のとき
\( \delta \) の平方根をすぐに求めることはできないので、\( w=p+iq\quad(p,q\in\mathbb{R}) \) とおいて
$$
w^2=p^2-q^2+2ipq=\delta
$$
を満たす \( p,q \) を \( \delta \) を用いて表すことを考えます。実部と虚部を見比べれば
$$
\begin{cases}
p^2-q^2=\mathrm{Re}(\delta) \\
2pq=\mathrm{Im}(\delta)
\end{cases}
$$
となりますが、一つ目の式の両辺に \( 4{p}^2 \) をかけ、二つ目の式を用いることによって
$$
4p^4-4p^2q^2=4\mathrm{Re}(\delta)p^2 \\
\therefore 4p^4-\mathrm{Im}(\delta)^2=4\mathrm{Re}(\delta)p^2
$$
を得ます。これを\( {p}^2 \) の二次方程式とみて、実係数二次方程式の解の公式を用いると
$$
p^2=\frac{\mathrm{Re}(\delta)\pm\sqrt{\mathrm{Re}(\delta)^2+\mathrm{Im}(\delta)^2}}{2}=\frac{\mathrm{Re}(\delta)\pm|\delta|}{2}
$$
と計算できます。ここで、\( \delta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R} \) より \( \mathrm{Re}(\delta)<|\delta| \) で、\( {p}^2\ge0 \) なので
$$
p^2=\frac{\mathrm{Re}(\delta)+|\delta|}{2}
$$
となり
$$
p=\pm\sqrt{\frac{\mathrm{Re}(\delta)+|\delta|}{2}}
$$
が従います。また
$$
p=\pm\sqrt{\frac{\mathrm{Re}(\delta)+|\delta|}{2}}=\pm\sqrt{\frac{-\mathrm{Re}(\delta)^2+|\delta|^2}{2(-\mathrm{Re}(\delta)+|\delta|)}}=\pm\sqrt{\frac{\mathrm{Im}(\delta)^2}{2(-\mathrm{Re}(\delta)+|\delta|)}}
$$
であることを用いれば
$$
q=\frac{\mathrm{Im}(\delta)}{2p}=\pm\frac{\mathrm{Im}(\delta)}{2}\sqrt{\frac{2(-\mathrm{Re}(\delta)+|\delta|)}{\mathrm{Im}(\delta)^2}}=\pm\sqrt{\frac{-\mathrm{Re}(\delta)+|\delta|}{2}}
$$
が導かれます。よって
$$
w=\pm\left(\sqrt{\frac{\mathrm{Re}(\delta)+|\delta|}{2}}+i\sqrt{\frac{-\mathrm{Re}(\delta)+|\delta|}{2}}\right)
$$
となります。また、この式は \( \delta\in\mathbb{R} \) としても成り立つことが確認できます。
以上から、複素係数二次方程式の解は
$$
z=-\frac{\beta}{2\alpha}\pm\left(\sqrt{\frac{\mathrm{Re}(\delta)+|\delta|}{2}}+i\sqrt{\frac{-\mathrm{Re}(\delta)+|\delta|}{2}}\right),\qquad\delta:=\frac{\beta^2-4\alpha\gamma}{4\alpha^2}
$$
で与えられることが分かります。
当たり前ですが、これは実係数二次方程式の解の公式の一般化になってます。この式はもうちょっと変形できるかもしれませんが、個人的にはこの形が気に入っているので、当記事ではこのままにしておきます。
