関数項級数Σ[n]sin(nx)/nの二通りの求め方

いきなりですが問題です。みなさんは次の級数の値がいくらになるか分かりますか？

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin{n}}{n} $$

正解は \(\displaystyle \frac{\pi-1}{2} \) です。これは、次の関数項級数に関する等式から従うことが分かります。

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin{nx}}{n}=\frac{\pi-x}{2}\ \ \ \mathrm{for}\ \ \ \forall{x}\in(0,2\pi) $$

今回はこの等式の証明を書きたいと思います。示し方は主に二通りあって、「Fourier級数展開を用いる方法」と「高校数学の微積のみを用いる方法」があります。前者は定義に従ってFourier係数を導出すればすぐに示せると思うので、本記事では後者を紹介します。

まず、\( 0<x<2\pi \) に対して次の等式を用意します。

$$ \sum_{n=1}^{N}\cos{nx}=\frac{\sin{\frac{(2N+1)x}{2}}}{2\sin{\frac{x}{2}}}-\frac{1}{2} $$

ただし、\( N \) は正の整数とします。証明はいろいろありますが、高校範囲で収めるなら( \(N \) に関する)数学的帰納法が一番手っ取り早いでしょう。

さて、\( 0<x<2\pi \) に対して、関数 \( f_N(x) \) を

$$ f_N(x):=\sum_{n=1}^{N}\frac{\sin{nx}}{n} $$

と定義します。\( f_N \) は有限個の関数の和ですから、当然微分と総和を交換できて

$$ {f_N}'(x)=\sum_{n=1}^{N}\cos{nx}=\frac{\sin{\frac{(2N+1)x}{2}}}{2\sin{\frac{x}{2}}}-\frac{1}{2} $$

となります。また、\( f_N(\pi)=0 \) なので、微分積分学の基本定理から

$$ f_N(x)=\int_{\pi}^{x}\left(\frac{\sin{\frac{(2N+1)t}{2}}}{2\sin{\frac{t}{2}}}-\frac{1}{2}\right)dt=\frac{1}{2}\int_{\pi}^{x}\frac{\sin{\frac{(2N+1)t}{2}}}{\sin{\frac{t}{2}}}dt+\frac{\pi-x}{2} $$

が成り立ちます。ところで、示したいものは

$$ \lim_{N\to\infty}f_N(x)=\frac{\pi-x}{2} $$

ですから

$$ \lim_{N\to\infty}\int_{\pi}^{x}\frac{\sin{\frac{(2N+1)t}{2}}}{\sin{\frac{t}{2}}}dt=0 $$

を示せばよいことになります。この積分が \( N\to\infty \) で \( 0 \) に収束することは一見非自明ですが、被積分関数についての微分

$$ \sin{\frac{(2N+1)t}{2}}=\left(-\frac{2}{2N+1}\cos{\frac{(2N+1)t}{2}}\right)' $$

を用いて部分積分をしてみると

$$ \begin{align*} \int_{\pi}^{x}\frac{\sin{\frac{(2N+1)t}{2}}}{\sin{\frac{t}{2}}}dt &=\left[-\frac{2}{2N+1}\cdot\frac{\cos{\frac{(2N+1)t}{2}}}{\sin{\frac{t}{2}}}\right]_{t=\pi}^{t=x} \\\\ &\ \ \ \ \ +\frac{2}{2N+1}\int_{\pi}^{x}\cos{\frac{(2N+1)t}{2}}\left(-\frac{\frac{1}{2}\cos{\frac{t}{2}}}{\sin^2{\frac{t}{2}}}\right)dt \\\\ &=-\frac{2}{2N+1}\cdot\frac{\cos{\frac{(2N+1)x}{2}}}{\sin{\frac{x}{2}}}-\frac{1}{2N+1}\int_{\pi}^{x}\frac{\cos{\frac{(2N+1)t}{2}}\cos{\frac{t}{2}}}{\sin^2{\frac{t}{2}}}dt \end{align*} $$

となり、\( O(\frac{1}{N}) \) であることが分かります。高校数学の答案として書けば

$$ \left|\frac{2}{2N+1}\cdot\frac{\cos{\frac{(2N+1)x}{2}}}{\sin{\frac{x}{2}}}\right|\le\frac{2}{2N+1}\cdot\frac{1}{\sin{\frac{x}{2}}}\to 0 $$

および、積分の平均値の定理より、\( x \) と \( \pi \) を端点とする開区間に属する実数 \( \theta \) が存在して

$$ \begin{align*} \left|\frac{1}{2N+1}\int_{\pi}^{x}\frac{\cos{\frac{(2N+1)t}{2}}\cos{\frac{t}{2}}}{\sin^2{\frac{t}{2}}}dt\right|&=\frac{|x-\pi|}{2N+1}\left|\frac{\cos{\frac{(2N+1)\theta}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}}{\sin^2{\frac{\theta}{2}}}\right| \\\\ &\le\frac{|x-\pi|}{2N+1}\left|\frac{\cos{\frac{\theta}{2}}}{\sin^2{\frac{\theta}{2}}}\right|\to 0 \end{align*} $$

が成り立つので

$$ \lim_{N\to\infty}\int_{\pi}^{x}\frac{\sin{\frac{(2N+1)t}{2}}}{\sin{\frac{t}{2}}}dt=0 $$

が従います。以上より

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin{nx}}{n}=\lim_{N\to\infty}f_N(x)=\frac{\pi-x}{2} $$

が示されました。