多重階乗の近似公式(Stirlingの公式の一般化)

非負整数 \( n \) に対し、\( n \) の階乗 とは、\( 1 \) から \( n \) までの全ての整数の積のことを言い、\( n! \) と表記します。ただし、\( 0! := 1\) とします。\( n! \) は明らかに \( n\to\infty \) で発散しますが、Stirlingの公式はこの漸近式を与えます \(:\)

$$ n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\ \ \ (n\to\infty) $$

さて、階乗を一般化した概念として、多重階乗 \( n!_m \)*1 というのがあり、\( m\le n \) なる正の整数 \( m,n\) に対して、次のように帰納的に定義されます。

$$ n!_m :=n\{(n-m)!_m\} $$

つまり、\(n!_m\) は 個飛ばしの整数の積を表します。この概念にもStirlingの公式と同様に近似公式を考えることができ、それにはStirlingの公式と、階乗の一般化であるGamma関数の無限積表示

$$ \Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{j=0}^{n}(z+j)} $$

を用いて導出することができます。なお、\(n!_m\) は \( n \) を \( m \) で割った余りによって挙動が変わってしまうので、より求めやすくかつ分かりやすくするために、\( (mn-k)!_m \) の漸近公式を求めることにします( \(k\) は なる整数)。まず、上記の無限積で \( z=1-\frac{k}{m}\)とすると

$$ \Gamma\left(1-\frac{k}{m}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{1-\frac{k}{m}}n!}{\prod_{j=0}^{n}(1-\frac{k}{m}+j)} $$

であり

$$ \begin{align*} \prod_{j=0}^{n}\left(1-\frac{k}{m}+j\right) &=\frac{1}{m^{n+1}}\prod_{j=0}^{n}\{m(j+1)-k\} \\\\ &=\frac{(m(n+1)-k)!_m}{m^{n+1}} \\\\ &=\frac{m(n+1)-k}{m^{n+1}}(mn-k)!_m \end{align*} $$

より

$$ (mn-k)!_m\sim\frac{n^{1-\frac{k}{m}}n!}{\Gamma(1-\frac{k}{m})}\cdot\frac{m^{n+1}}{m(n+1)-k}\ \ \ (n\to\infty) $$

が分かります。ここで、Stirlingの公式より

$$ \begin{align*} n!\frac{m^{n+1}}{m(n+1)-k}&\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\frac{m^{n+1}}{m(n+1)-k} \\\\ &=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{mn}{e}\right)^n\frac{m}{m(n+1)-k} \\\\ &=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{mn}{e}\right)^n\frac{1}{n+1-\frac{k}{m}} \\\\ &\sim\sqrt{\frac{2\pi}{n}}\left(\frac{mn}{e}\right)^n \end{align*} $$

なので

$$ (mn-k)!_m\sim\frac{\sqrt{2\pi}}{\Gamma(1-\frac{k}{m})}n^{\frac{1}{2}-\frac{k}{m}}\left(\frac{mn}{e}\right)^n\ \ \ (n\to\infty) $$

が従います。これが多重階乗の近似公式になります。

*1: \(n\overbrace{!\cdots !}^{m}\)と書く場合もあります。ただし、\( m \) が小さければ、\(\overbrace{!\cdots !}^{m}\) と書かずに個数分書くのが一般的です。