Stieltjes定数の級数表示

よく知られているように、解析接続されたRiemann zeta関数 \( \zeta(s) \) は \( s=1 \) において1位の極を持ち、\( s\in \mathbb{C} \setminus \{1\} \)で 正則な有理型関数となります。これより、\( \zeta(s) \) は \( s=1 \) の周りで次のようにLaurent級数展開できます。

$$ \zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\gamma_n(s-1)^n $$

この \( \gamma_n \) をStieltjes定数と呼びます。この定数にはいろんな表示があるのですが、今回は級数を使った表示を一つ与えてみたいと思います(ちなみに英語版Wikipediaに載ってます)。それは、次の \( \zeta(s) \) の級数表示をLaurent展開の形になるように変形し、係数を比較するという至って単純な方法で求めることができます。

$$ \zeta(s)=\frac{1}{s-1}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}(k+1)^{1-s} $$

この等式の証明も興味深いものですが、流石に長くなりすぎるためここでは証明しません(気になる人は調べてみてネ)。さて、ではさっそく変形していきましょう。まず

$$ \zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\frac{1}{s-1}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}(k+1)^{1-s} $$

と主要部を外に出します。つまり、右辺の級数部分は正則関数ですね(この事実は特に使いませんが)。この正則部分において、\((k+1)^{1-s}\) を

$$ (k+1)^{1-s}=\exp\{-(s-1)\ln(k+1)\}=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\{-(s-1)\ln(k+1)\}^j}{j!} $$

とTaylor展開すると

$$ \begin{align*} &\frac{1}{s-1}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}(k+1)^{1-s} & \\\\ &=\frac{1}{s-1}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\{-(s-1)\ln(k+1)\}^j}{j!} \end{align*} $$

とできます。ここでなんと \( \sum \) が3つも登場してしまいましたが、思い切って(！？)総和順番を交換していきます。

$$ \begin{align*} &\frac{1}{s-1}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\{-(s-1)\ln(k+1)\}^j}{j!} \\\\ &=\frac{1}{s-1}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\{-(s-1)\}^j}{j!}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\ln^j(k+1) \\\\ &=\frac{1}{s-1}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\{-(s-1)\}^j}{j!}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\ln^j(k+1) \\\\ &=\frac{1}{s-1}\sum_{j=0}^{\infty}\left\{\frac{(-1)^j}{j!}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\ln^j(k+1)\right\}(s-1)^j \\\\ &=\sum_{j=0}^{\infty}\left\{\frac{(-1)^j}{j!}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\ln^j(k+1)\right\}(s-1)^{j-1} \end{align*} $$

無事に \(s-1\) の冪級数の形に持ってこれました。ここで、あれ？ \(j=0\) のとき主要部になるくね？って思うかもしれませんが、\(j=0\) の項の係数を抜き出してみると

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}(1-1)^n=0 $$

となるので問題ありません。以上から、\(\zeta(s)\) は

$$ \zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{j=1}^{\infty}\left\{\frac{(-1)^j}{j!}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\ln^j(k+1)\right\}(s-1)^{j-1} $$

となることが分かります。このままだと見た目的に係数を比較しにくいので、最初に書いたLaurent展開の書式に合わせていくと

$$ \begin{align*} &\sum_{j=1}^{\infty}\left\{\frac{(-1)^j}{j!}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\ln^j(k+1)\right\}(s-1)^{j-1} \\\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\left\{\frac{(-1)^n}{n!}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^{k}(-1)^j\binom{k}{j}\ln^n(j+1)\right\}(s-1)^{n-1} \\\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\left\{\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^{k}(-1)^j\binom{k}{j}\ln^{n+1}(j+1)\right\}(s-1)^n \\\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\left\{\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k+1}\sum_{j=1}^{k}(-1)^j\binom{k}{j}\ln^{n+1}(j+1)\right\}(s-1)^n \\\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\left\{\frac{(-1)^n}{n!}\cdot\frac{1}{n+1}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k+1}\sum_{j=1}^{k}(-1)^{j-1}\binom{k}{j}\ln^{n+1}(j+1)\right\}(s-1)^n \end{align*} $$

となります。よって、 係数比較により

$$ \gamma_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k+1}\sum_{j=1}^{k}(-1)^{j-1}\binom{k}{j}\ln^{n+1}(j+1) $$

が得られます。これが今回求めたかった級数表示になります。ちなみにこの式の使い道ですが、Stieltjes定数は、\( n=0 \) でEuler定数 \( \gamma \) に一致することが知られているので

$$ \gamma=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k+1}\sum_{j=1}^{k}(-1)^{j-1}\binom{k}{j}\ln(j+1) $$

という等式を得ることができます。それ以外の使い道は......級数で表せるという感動が得られる、とかですかねw