今回は、Legendreが発見した、次の素数計数関数に関する等式を証明しようと思います。 $$ \pi(x)=\pi(\sqrt{x})-1+\sum_{d\mid P_x}\mu(d)\left\lfloor\frac{x}{d}\right\rfloor $$ ただし、\( x \) は \( 1 \) 以上の実数とし、\( \mu:\mathbb{N}\to\{0,\pm…

以下、\( a \) を正の実数、\( b \) を1より大きい実数とします。 皆さんは、対数関数 \( x\mapsto \log_{b}{x} \)、冪関数 \( x\mapsto {x}^a\)、指数関数 \( x\mapsto {b}^x\) の極限の強さを知っていますか？まず、これらは \( x\to\infty \) でいずれも…

実係数二次方程式 $$ ax^2+bx+c=0\quad(a\neq0) $$ の解は、中学校(高校？)で「解の公式」として習うように $$ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$ で与えられますが、では \( a,b,c \) が実数ではなく複素数の場合、解の公式はどのようになるでしょうか。…